Perkalian dan Pembagian Bilangan Bulat

Di materi sebelumnya kita menjumlah dengan melangkah di garis bilangan. Sekarang bayangkan ini: suhu di sebuah ruang pendingin turun 2°C setiap jam. Setelah 3 jam, suhunya berubah berapa? Turun 2, turun 2, lalu turun 2 lagi: totalnya turun 6 derajat. Ditulis dengan bilangan bulat: \( {(-2) + (-2) + (-2) = -6.} \)

Penjumlahan bilangan yang sama secara berulang punya nama yang lebih singkat: perkalian. Di halaman ini kita belajar mengalikan dan membagi bilangan bulat. Yang paling penting, kita akan memahami mengapa aturan tandanya seperti itu, bukan sekadar menghafalnya.

1. Perkalian adalah Penjumlahan Berulang

Sejak SD kita tahu \( {3 \times 2} \) artinya 2 dijumlahkan sebanyak 3 kali: \( {2 + 2 + 2 = 6.} \) Pada garis bilangan, itu berarti 3 lompatan, masing-masing 2 langkah ke kanan, dimulai dari 0.

Dengan cara yang sama, \( {3 \times (-2)} \) artinya −2 dijumlahkan sebanyak 3 kali:

\[ \begin{aligned} 3 \times (-2) &= (-2) + (-2) + (-2) \\ &= -6 \end{aligned} \]

Pada garis bilangan: 3 lompatan, masing-masing 2 langkah ke kiri, karena yang dijumlahkan bilangan negatif.

Jadi positif dikali negatif hasilnya negatif. Ini masuk akal: kalau suhu turun 2 derajat sebanyak 3 kali, suhunya pasti turun, bukan naik.

2. Urutan Perkalian Boleh Ditukar

Bagaimana dengan \( {(-2) \times 3?} \) Membayangkan “−2 kali lompatan” memang aneh. Untungnya, pada perkalian urutan boleh ditukar tanpa mengubah hasil, misalnya \( {2 \times 3 = 3 \times 2 = 6.} \) Sifat ini disebut sifat komutatif (sifat pertukaran).

Jadi \( (-2) \times 3 = 3 \times (-2) = -6 \). Negatif dikali positif hasilnya juga negatif.

3. Negatif Dikali Negatif: Mari Lihat Polanya

Sekarang bagian yang paling sering ditanyakan: berapa \( {(-3) \times (-2)?} \) Menghafal “negatif kali negatif jadi positif” itu mudah, tetapi mengapa begitu? Mari kita cari tahu dari pola, seperti di materi sebelumnya.

Bilangan pertama pada perkalian disebut pengali: pada \( {3 \times (-2),} \) pengalinya 3 (−2 dijumlahkan 3 kali). Perhatikan: setiap kali pengalinya turun 1, hasilnya naik 2, yaitu −6, −4, −2, 0. Pola itu tidak berhenti di nol. Kalau pengalinya turun lagi menjadi −1, −2, dan −3, hasilnya terus naik menjadi 2, 4, dan 6.

Jadi \( {(-1) \times (-2) = 2,} \) \( {(-2) \times (-2) = 4,} \) dan \( {(-3) \times (-2) = 6.} \) Negatif dikali negatif hasilnya positif.

4. Cek dengan Cerita: Suhu yang Terus Turun

Kembali ke ruang pendingin tadi. Suhunya turun 2°C setiap jam, jadi perubahannya −2 per jam. Misalkan sekarang suhunya 0°C. Waktu kita tandai dengan bilangan bulat: jam yang akan datang positif (1 jam lagi = 1), jam yang sudah lewat negatif (1 jam yang lalu = −1). Karena sekarang suhunya 0°C, suhu pada suatu waktu dihitung dengan waktu × (−2).

• 3 jam lagi: \( {3 \times (-2) = -6.} \) Suhunya −6°C, lebih dingin. Masuk akal, karena suhunya terus turun.
• 3 jam yang lalu: \( {(-3) \times (-2) = 6.} \) Suhunya 6°C, lebih hangat. Juga masuk akal: kalau suhunya terus turun, berarti dulu suhunya lebih tinggi.

Cerita ini cocok dengan pola tadi: negatif dikali negatif hasilnya positif.

5. Aturan Tanda

Dari bagian 1 sampai 4 kita bisa merangkum aturan tanda perkalian:

1. Tanda sama (positif × positif, atau negatif × negatif): hasilnya positif.
2. Tanda berbeda (positif × negatif, atau negatif × positif): hasilnya negatif.
3. Bilangan apa pun dikali 0 hasilnya 0.

Cara mengerjakannya: abaikan dulu tanda minusnya dan kalikan bilangannya, lalu tentukan tandanya dengan aturan di atas. Contoh: \( {(-4) \times 5.} \) Tanpa tanda minus, \( {4 \times 5 = 20.} \) Tandanya berbeda, jadi hasilnya −20.

Cara lain untuk mengingatnya. Bandingkan \( {3 \times 4 = 12} \) dengan \( {(-3) \times 4 = -12.} \) Kalau bilangan pertama diganti dengan lawannya (ingat materi sebelumnya: lawan 3 adalah −3), hasilnya juga berganti menjadi lawannya. Sekarang lakukan hal yang sama pada \( {3 \times (-4) = -12} \): \( {(-3) \times (-4)} \) adalah lawan dari −12, yaitu 12. Negatif dikali negatif seperti “lawan dari lawan”, sehingga kembali menjadi positif.

6. Pembagian: Kebalikan dari Perkalian

Pembagian adalah kebalikan dari perkalian. \( {12 \mathbin{:} 3 = 4} \) karena \( {4 \times 3 = 12.} \) Jadi untuk menghitung pembagian, kita bertanya: bilangan berapa yang kalau dikali dengan pembaginya, hasilnya sama dengan bilangan yang dibagi? (Pembagi adalah bilangan di belakang tanda bagi; pada \( {12 \mathbin{:} 3,} \) pembaginya 3.)

Pertanyaan itu langsung bisa dipakai untuk bilangan bulat:

• Untuk \( {(-12) \mathbin{:} 3,} \) tanyakan: berapa dikali 3 hasilnya −12? Jawabannya −4, jadi \( {(-12) \mathbin{:} 3 = -4.} \)
• Untuk \( {12 \mathbin{:} (-3),} \) tanyakan: berapa dikali −3 hasilnya 12? Jawabannya −4, jadi \( {12 \mathbin{:} (-3) = -4.} \)
• Untuk \( {(-12) \mathbin{:} (-3),} \) tanyakan: berapa dikali −3 hasilnya −12? Jawabannya 4, jadi \( {(-12) \mathbin{:} (-3) = 4.} \)

Ternyata aturan tanda pembagian sama persis dengan perkalian: tanda sama hasilnya positif, tanda berbeda hasilnya negatif. Tabel aturan tanda di bagian 5 berlaku juga untuk pembagian.

Contoh cerita: suhu turun 12°C dalam 3 jam, sama besar setiap jamnya. Perubahan tiap jam adalah \( {(-12) \mathbin{:} 3 = -4,} \) artinya turun 4°C per jam.

Bagaimana dengan nol? \( {0 \mathbin{:} 5 = 0,} \) karena \( {0 \times 5 = 0.} \) Tetapi \( {5 \mathbin{:} 0} \) tidak bisa dihitung: tidak ada bilangan yang kalau dikali 0 hasilnya 5, karena bilangan apa pun dikali 0 hasilnya 0. Lalu bagaimana dengan \( {0 \mathbin{:} 0?} \) Kali ini semua bilangan cocok, misalnya \( {7 \times 0 = 0} \) dan \( {(-3) \times 0 = 0,} \) sehingga tidak ada satu jawaban yang pasti. Karena itu pembagian dengan nol, termasuk \( {0 \mathbin{:} 0,} \) tidak didefinisikan (tidak punya hasil).

Awas Jebakan!

Jebakan 1: \( {(-3) \times (-4).} \) Banyak yang menjawab −12, dengan alasan “ada tanda minus, pasti hasilnya negatif”. Padahal tandanya sama (keduanya negatif), jadi hasilnya positif: \( {(-3) \times (-4) = 12.} \)

Jebakan 2: aturan tanda dipakai untuk penjumlahan. Aturan “negatif dan negatif jadi positif” hanya berlaku untuk perkalian dan pembagian. Penjumlahan \( {(-3) + (-4)} \) tetap dikerjakan dengan melangkah: mulai di −3, melangkah 4 langkah ke kiri, hasilnya −7, bukan 7. Ingat juga: pada pengurangan, \( {5 - (-3)} \) menjadi \( {5 + 3} \) karena “mengurangi sama dengan menambah lawannya” (materi sebelumnya), bukan karena aturan tanda. Hasil pengurangan seperti itu bisa tetap negatif, misalnya \( {(-5) - (-2) = -3.} \)

Mari Coba Bersama

Contoh 1. Hitung \( {(-5) \times 4.} \)

Cara berpikir: tanpa tanda minus, \( {5 \times 4 = 20.} \) Tandanya berbeda (negatif dan positif), jadi hasilnya negatif. Bisa juga dicek dengan penjumlahan berulang; karena urutan boleh ditukar, \( (-5) \times 4 = 4 \times (-5) = (-5) + (-5) + (-5) + (-5) = -20 \).
Jawaban: −20.

Contoh 2. Hitung \( {(-6) \times (-3).} \)

Cara berpikir: tanpa tanda minus, \( {6 \times 3 = 18.} \) Tandanya sama (keduanya negatif), jadi hasilnya positif.
Jawaban: 18.

Contoh 3. Hitung \( {(-24) \mathbin{:} (-6).} \)

Cara berpikir: tanpa tanda minus, \( {24 \mathbin{:} 6 = 4.} \) Tandanya sama, jadi hasilnya positif. Cek dengan perkalian: \( {4 \times (-6) = -24.} \) Cocok.
Jawaban: 4.

Ringkasan

• Perkalian adalah penjumlahan berulang, misalnya \( 3 \times (-2) = (-2) + (-2) + (-2) = -6 \).
• Urutan perkalian boleh ditukar (sifat komutatif).
• Tanda sama hasilnya positif; tanda berbeda hasilnya negatif. Pola dan cerita suhu menunjukkan mengapa \( {(-3) \times (-2) = 6.} \)
• Pembagian adalah kebalikan perkalian, dan aturan tandanya sama. Pembagian dengan nol tidak didefinisikan.
• Aturan tanda hanya untuk perkalian dan pembagian, bukan untuk penjumlahan dan pengurangan.

Sekarang kerjakan latihan soal di bawah. Pilih jawabanmu, lalu baca pembahasannya. Pembahasan sama pentingnya dengan jawabannya.

Materi berikutnya: sifat-sifat operasi dan operasi campuran, yaitu urutan mengerjakan soal yang memuat tambah, kurang, kali, dan bagi sekaligus.