Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan

Di materi sebelumnya, Aisyah makan \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{3}{8}} \) martabak. Tidak lama kemudian, adiknya, Fatimah, makan 2 potong lagi dari martabak yang sama. Berapa bagian martabak yang sudah mereka makan berdua? Berapa yang masih tersisa? Untuk menjawabnya, kita perlu menjumlahkan dan mengurangkan pecahan. Kabar baiknya, caranya bertumpu pada dua hal yang sudah kamu pelajari: arti pembilang dan penyebut, serta pecahan senilai.

1. Penyebutnya Sama: Cukup Hitung Potongannya

Semua potongan martabak sama besar, yaitu seperdelapan. Aisyah makan 3 potong seperdelapan, Fatimah 2 potong seperdelapan. Jadi mereka makan 3 + 2 = 5 potong seperdelapan:

\[ \dfrac{3}{8} + \dfrac{2}{8} = \dfrac{3 + 2}{8} = \dfrac{5}{8} \]

Mengapa penyebutnya tidak ikut dijumlahkan? Penyebut 8 berarti satu martabak dipotong 8 sama besar. Karena itu penyebut menentukan ukuran setiap potongan (seperdelapan), bukan banyaknya potongan yang dimakan. Ukuran potongannya tidak berubah, tetap seperdelapan. Bandingkan dengan menghitung buah: 3 apel + 2 apel = 5 apel. Apelnya tidak berubah menjadi buah lain. Begitu juga 3 potong seperdelapan + 2 potong seperdelapan = 5 potong seperdelapan.

Bukan contoh: menjumlahkan pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan penyebut, sehingga \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{3}{8} + \dfrac{2}{8}} \) dianggap \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{5}{16}.} \) Hasil ini pasti salah. Ubah bagian Aisyah menjadi pecahan berpenyebut 16 supaya bisa dibandingkan:

\[ \dfrac{5}{16} < \dfrac{6}{16} = \dfrac{3}{8} \]

Jadi hasil yang salah itu justru lebih kecil daripada bagian Aisyah sendiri. Padahal sesudah Fatimah ikut makan, bagian yang dimakan pasti bertambah, bukan berkurang.

Pengurangan memakai cara yang sama. Satu martabak utuh adalah \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{8}{8},} \) yaitu 8 potong dari 8. Sisa martabaknya:

\[ \dfrac{8}{8} - \dfrac{5}{8} = \dfrac{8 - 5}{8} = \dfrac{3}{8} \]

Kalau hasilnya masih bisa disederhanakan, sederhanakan. Misalnya:

\[ \dfrac{7}{8} - \dfrac{3}{8} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2} \]

Hasil \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{4}{8}} \) disederhanakan karena 4 dan 8 sama-sama habis dibagi 4.

Aturannya: kalau penyebutnya sama, jumlahkan atau kurangkan pembilangnya, dan biarkan penyebutnya tetap.

2. Penyebutnya Berbeda: Potong Ulang Sampai Sama Besar

Budi mengecat pagar. Pagi hari ia mengecat \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{1}{2}} \) pagar, sore hari \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{1}{3}} \) pagar. Berapa bagian pagar yang sudah dicat?

Di sini potongannya tidak sama besar: potongan setengah lebih besar daripada potongan sepertiga. Kita tidak bisa langsung berkata “1 potong + 1 potong = 2 potong”, karena belum jelas 2 potong yang mana.

Bukan contoh: menjumlahkan pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan penyebut, sehingga \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}} \) dianggap \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{2}{5}.} \) Lihat gambar: pita dua per lima bahkan lebih pendek daripada pita setengah saja. Kalau kedua pecahannya positif, mustahil hasil penjumlahannya lebih kecil daripada salah satu bagian yang dijumlahkan.

Jalan keluarnya: potong ulang kedua bagian menjadi potongan yang sama besar. Potongan baru itu harus pas untuk setengah maupun sepertiga, jadi penyebut barunya harus habis dibagi 2 dan juga habis dibagi 3. Bilangan positif terkecil yang memenuhi adalah 6. Dengan pecahan senilai dari materi sebelumnya:

\[ \begin{aligned} \dfrac{1}{2} &= \dfrac{1 \times 3}{2 \times 3} = \dfrac{3}{6} \\[6pt] \dfrac{1}{3} &= \dfrac{1 \times 2}{3 \times 2} = \dfrac{2}{6} \end{aligned} \]

Sekarang potongannya sama besar (seperenam), jadi tinggal dihitung:

\[ \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{5}{6} \]

Jadi pagar yang sudah dicat \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{5}{6}} \) bagian. Cek dengan akal sehat: Budi mengecat lebih dari setengah pagar, tetapi belum seluruhnya. Hasilnya memang lebih dari setengah dan kurang dari 1:

\[ \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{6} < \dfrac{5}{6} < \dfrac{6}{6} = 1 \]

Langkahnya selalu sama:

1. Samakan penyebutnya dengan pecahan senilai.
2. Jumlahkan atau kurangkan pembilangnya, penyebutnya tetap.
3. Sederhanakan hasilnya kalau bisa.

Memilih penyebut baru. Ada dua cara. Ambil contoh \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{6}.} \)

Cara yang pasti berhasil: kalikan kedua penyebut, \( {4 \times 6 = 24.} \)

\[ \begin{aligned} \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{6} &= \dfrac{3 \times 6}{4 \times 6} + \dfrac{1 \times 4}{6 \times 4} \\[6pt] &= \dfrac{18}{24} + \dfrac{4}{24} \\[6pt] &= \dfrac{22}{24} = \dfrac{11}{12} \end{aligned} \]

Hasil \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{22}{24}} \) masih disederhanakan, karena 22 dan 24 sama-sama habis dibagi 2.

Cara hemat: tulis kelipatan penyebut yang lebih besar, yaitu 6: 6, 12, … Bilangan 12 adalah yang pertama habis dibagi 4.

\[ \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{9}{12} + \dfrac{2}{12} = \dfrac{11}{12} \]

Di contoh ini, hasilnya langsung dalam bentuk paling sederhana.

Kedua cara memberi jawaban yang sama. Cara hemat menghasilkan bilangan yang lebih kecil, sehingga lebih sedikit yang perlu disederhanakan. Bilangan positif terkecil yang habis dibagi kedua penyebut disebut KPK (kelipatan persekutuan terkecil). Bilangan 12 adalah kelipatan 4 (\( {4 \times 3} \)) sekaligus kelipatan 6 (\( {6 \times 2} \)): itulah arti “persekutuan”, yaitu dimiliki bersama. Tidak ada bilangan positif yang lebih kecil daripada 12 yang habis dibagi 4 dan 6, jadi KPK dari 4 dan 6 adalah 12.

3. Pengurangan dengan Penyebut Berbeda

Kak Nisa punya \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{3}{4}} \) liter susu. Sebanyak \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{1}{3}} \) liter dipakai untuk membuat puding. Berapa liter susu yang tersisa?

Langkahnya sama. Penyebut barunya harus habis dibagi 4 dan 3. Kalikan kedua penyebut: \( {4 \times 3 = 12.} \) (Di sini cara yang pasti berhasil dan cara hemat sama-sama menghasilkan 12.)

\[ \dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{9}{12} - \dfrac{4}{12} = \dfrac{5}{12} \]

Jadi susu yang tersisa \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{5}{12}} \) liter.

Cek jawaban. Pengurangan bisa dicek dengan penjumlahan: yang tersisa ditambah yang dipakai harus sama dengan yang semula.

\[ \dfrac{5}{12} + \dfrac{4}{12} = \dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4} \]

Cocok.

4. Hasil Lebih dari 1 dan Pecahan Campuran

Kadang hasilnya lebih dari 1. Contohnya:

\[ \dfrac{3}{4} + \dfrac{2}{4} = \dfrac{5}{4} \]

Dengan martabak, \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{5}{4}} \) adalah 5 potong seperempat, yaitu 4 potong (satu martabak utuh) ditambah 1 potong lagi. Jadi \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{5}{4} = 1\dfrac{1}{4}.} \)

Pecahan biasa adalah pecahan yang ditulis pembilang per penyebut saja, seperti \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{5}{4}.} \)

Mengubah pecahan biasa ke pecahan campuran: bagi pembilang dengan penyebut. 5 dibagi 4 hasilnya 1, dengan sisa 1. Hasil baginya (1) menjadi bagian utuh, sisanya (1) menjadi pembilang baru, dan penyebutnya tetap 4. Sisa adalah bagian yang tertinggal ketika pembagian tidak habis: 5 potong dikelompokkan per 4 potong menghasilkan 1 kelompok utuh, dan 1 potong tertinggal.

Mengubah pecahan campuran ke pecahan biasa: hitung semuanya dalam potongan. Pada \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}2\dfrac{1}{2},} \) setiap 1 utuh berisi 2 potong setengah, jadi 2 utuh berisi \( {2 \times 2 = 4} \) potong setengah. Ditambah 1 potong setengah lagi, semuanya 5 potong setengah:

\[ 2\dfrac{1}{2} = \dfrac{2 \times 2 + 1}{2} = \dfrac{5}{2} \]

5. Menjumlahkan dan Mengurangkan Pecahan Campuran

Penjumlahan. Hitung \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}2\dfrac{1}{2} + 1\dfrac{1}{3}.} \) Ingat, \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}2\dfrac{1}{2}} \) artinya \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}2 + \dfrac{1}{2}.} \) Urutan dan pengelompokan penjumlahan boleh diubah (sifat pertukaran dan pengelompokan dari materi keempat), jadi bagian utuh boleh dijumlahkan dengan bagian utuh, dan bagian pecahan dengan bagian pecahan:

\[ 2\dfrac{1}{2} + 1\dfrac{1}{3} = (2 + 1) + \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}\right) \]

\[ \begin{aligned} 2 + 1 &= 3 \\[6pt] \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} &= \dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{5}{6} \end{aligned} \]

Hasilnya \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}3\dfrac{5}{6}.} \) Kalau bagian pecahannya ternyata lebih dari 1, ubah dulu menjadi pecahan campuran, lalu bagian utuhnya digabungkan. Misalnya:

\[ \begin{aligned} 1\dfrac{2}{3} + 1\dfrac{2}{3} &= 2 + \dfrac{4}{3} \\[6pt] &= 2 + 1\dfrac{1}{3} = 3\dfrac{1}{3} \end{aligned} \]

Pengurangan. Hitung \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}3\dfrac{1}{4} - 1\dfrac{3}{4}.} \) Masalahnya, kita harus mengambil 3 potong seperempat, padahal bagian pecahannya hanya punya 1 potong seperempat. Caranya: pinjam 1 utuh dari bagian utuh. Satu utuh itu dipotong menjadi 4 potong seperempat, lalu digabung dengan 1 potong seperempat tadi, sehingga ada 5 potong seperempat:

\[ 3\dfrac{1}{4} = 2 + \dfrac{4}{4} + \dfrac{1}{4} = 2\dfrac{5}{4} \]

Bentuk \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}2\dfrac{5}{4}} \) hanya bentuk sementara untuk menghitung. Bagian pecahannya boleh lebih dari 1 dulu, karena sebentar lagi dikurangi.

Sekarang bagian pecahannya cukup untuk dikurangi:

\[ \begin{aligned} 2\dfrac{5}{4} - 1\dfrac{3}{4} &= 1\dfrac{2}{4} \\[6pt] &= 1\dfrac{1}{2} \end{aligned} \]

Cara yang pasti berhasil: ubah semuanya ke pecahan biasa, lalu hitung seperti biasa.

\[ \begin{aligned} 3\dfrac{1}{4} &= \dfrac{3 \times 4 + 1}{4} = \dfrac{13}{4} \\[6pt] 1\dfrac{3}{4} &= \dfrac{1 \times 4 + 3}{4} = \dfrac{7}{4} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} \dfrac{13}{4} - \dfrac{7}{4} &= \dfrac{6}{4} \\[6pt] &= 1\dfrac{2}{4} = 1\dfrac{1}{2} \end{aligned} \]

Hasilnya sama.

6. Dengan Pecahan Negatif

Aturan dari materi kedua tetap berlaku: mengurangi bilangan positif berarti melangkah ke kiri di garis bilangan. Hitung \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{1}{4} - \dfrac{3}{4}.} \) Mulai di \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{1}{4},} \) lalu mundur 3 langkah seperempat:

Kita berhenti di \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}{-}\dfrac{2}{4} = -\dfrac{1}{2}.} \)

Dengan aturan penyebut sama, pembilangnya dihitung dengan aturan bilangan bulat: \( {1 - 3 = -2.} \) Pecahan negatif boleh ditulis dengan tanda minus di depan pecahan atau di pembilangnya, jadi \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}{-}\dfrac{2}{4} = \dfrac{-2}{4}.} \) Hasilnya sama dengan cara melangkah tadi:

\[ \begin{aligned} \dfrac{1}{4} - \dfrac{3}{4} &= \dfrac{1 - 3}{4} = \dfrac{-2}{4} \\[6pt] &= -\dfrac{2}{4} = -\dfrac{1}{2} \end{aligned} \]

Penyebut berbeda pun sama caranya:

\[ \begin{aligned} -\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} &= -\dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} \\[6pt] &= \dfrac{-3 + 2}{6} = -\dfrac{1}{6} \end{aligned} \]

Awas Jebakan!

Jebakan 1: penyebut disamakan, pembilang lupa diubah. Ada yang menulis \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}} \) sebagai \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6},} \) lalu menjawab \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{2}{6}.} \) Penyebutnya memang sudah sama, tetapi pembilangnya tidak ikut dikali.

Padahal setengah pagar jauh lebih panjang daripada seperenam pagar, jadi setengah tidak boleh diganti seperenam. Pecahan senilai didapat dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan bilangan yang sama:

\[ \dfrac{1}{2} = \dfrac{1 \times 3}{2 \times 3} = \dfrac{3}{6} \]

Jebakan 2: pengurangan pecahan campuran dibalik. Pada \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}3\dfrac{1}{4} - 1\dfrac{3}{4},} \) ada yang mengurangkan bagian utuhnya, 3 − 1 = 2. Lalu, karena “1 potong dikurangi 3 potong” terasa tidak bisa, bagian pecahannya dibalik menjadi 3 potong dikurangi 1 potong. Jawabannya menjadi \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}2\dfrac{2}{4}.} \) Ini salah.

Cek dengan akal sehat. Kalau yang dikurangkan hanya \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}1\dfrac{1}{4},} \) hasilnya tepat 2:

\[ 3\dfrac{1}{4} - 1\dfrac{1}{4} = 2 \]

Padahal yang dikurangkan di soal, \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}1\dfrac{3}{4},} \) lebih besar daripada \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}1\dfrac{1}{4}.} \) Jadi hasilnya harus kurang dari 2. Jawaban yang benar \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}1\dfrac{1}{2}} \) (lihat bagian 5). Pengurangan tidak boleh dibalik; kalau bagian pecahannya kurang, pinjam 1 utuh.

Mari Coba Bersama

Contoh 1. Hitung \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{7}{10} - \dfrac{1}{4}.} \)

Cara berpikir: penyebut baru harus habis dibagi 10 dan 4. Tulis kelipatan 10: 10, 20, … Bilangan 20 habis dibagi 4, jadi pakai 20.

\[ \dfrac{7}{10} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{14}{20} - \dfrac{5}{20} = \dfrac{9}{20} \]

Jawaban: \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{9}{20}.} \) Bentuk ini sudah paling sederhana, karena 9 dan 20 tidak sama-sama habis dibagi oleh bilangan selain 1.

Contoh 2. Hitung \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{4},} \) lalu tulis hasilnya sebagai pecahan campuran.

Cara berpikir: kalikan kedua penyebut, \( {3 \times 4 = 12.} \) Sesudah dijumlahkan, bagi pembilang dengan penyebut: 17 dibagi 12 hasilnya 1, dengan sisa 5.

\[ \begin{aligned} \dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{4} &= \dfrac{8}{12} + \dfrac{9}{12} \\[6pt] &= \dfrac{17}{12} = 1\dfrac{5}{12} \end{aligned} \]

Jawaban: \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}1\dfrac{5}{12}.} \)

Contoh 3. Ibu punya \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}2\dfrac{1}{4}} \) kg gula. Sebanyak \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{3}{4}} \) kg dipakai untuk membuat kue. Berapa kg gula yang tersisa?

Cara berpikir: hitung \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}2\dfrac{1}{4} - \dfrac{3}{4}.} \) Kita harus mengambil 3 potong seperempat, padahal bagian pecahannya hanya punya 1 potong seperempat. Jadi pinjam 1 utuh: 2 utuh tinggal 1 utuh, dan 1 potong seperempat bertambah 4 menjadi 5 potong seperempat.

\[ \begin{aligned} 2\dfrac{1}{4} - \dfrac{3}{4} &= 1\dfrac{5}{4} - \dfrac{3}{4} \\[6pt] &= 1\dfrac{2}{4} = 1\dfrac{1}{2} \end{aligned} \]

Cek dengan penjumlahan: yang tersisa ditambah yang dipakai harus sama dengan yang semula.

\[ \begin{aligned} 1\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{4} &= 1\dfrac{2}{4} + \dfrac{3}{4} \\[6pt] &= 1\dfrac{5}{4} = 2\dfrac{1}{4} \end{aligned} \]

Cocok.
Jawaban: gula yang tersisa \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}1\dfrac{1}{2}} \) kg.

Ringkasan

• Penyebut sama: jumlahkan atau kurangkan pembilangnya, penyebutnya tetap. Penyebut (banyak bagian dalam satu keseluruhan) menentukan ukuran potongan, jadi tidak ikut dijumlahkan.
• Penyebut berbeda: samakan dulu dengan pecahan senilai, baru hitung. Penyebut barunya bisa hasil kali kedua penyebut (pasti berhasil) atau KPK-nya (lebih hemat).
• Cek hasil dengan akal sehat: hasil penjumlahan pecahan positif tidak mungkin lebih kecil daripada bagian yang dijumlahkan.
• Pecahan biasa yang lebih dari 1 bisa ditulis sebagai pecahan campuran, dan sebaliknya.
• Pengurangan pecahan campuran: kalau bagian pecahannya kurang, pinjam 1 utuh, atau ubah semuanya ke pecahan biasa.
• Pecahan negatif: aturan bilangan bulat tetap berlaku.

Sekarang kerjakan latihan soal di bawah. Pilih jawabanmu, lalu baca pembahasannya. Pembahasan sama pentingnya dengan jawabannya.

Materi berikutnya: perkalian dan pembagian pecahan.