Perkalian dan Pembagian Pecahan

Ibu punya \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{3}{4}} \) loyang kue bolu. Setengahnya diberikan kepada tetangga. Berapa bagian loyang yang diberikan? Di hari lain, Ibu punya 3 loyang kue dan memotong setiap loyang menjadi potongan seperempat. Ada berapa potong? Pertanyaan pertama adalah perkalian pecahan, pertanyaan kedua pembagian pecahan. Keduanya akan kita jawab dengan gambar dulu, baru aturannya.

1. Bilangan Bulat Dikali Pecahan

Ingat arti perkalian dari materi ketiga: \( {3 \times 2} \) berarti 2 dijumlahkan sebanyak 3 kali. Arti ini tetap berlaku untuk pecahan. \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}3 \times \dfrac{2}{5}} \) berarti \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{2}{5}} \) dijumlahkan sebanyak 3 kali:

\[ \begin{aligned} 3 \times \dfrac{2}{5} &= \dfrac{2}{5} + \dfrac{2}{5} + \dfrac{2}{5} \\[6pt] &= \dfrac{2 + 2 + 2}{5} = \dfrac{6}{5} \end{aligned} \]

Pembilangnya dijumlahkan 3 kali, sama saja dengan dikali 3. Penyebutnya tetap, karena ukuran potongannya tetap seperlima:

\[ 3 \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{3 \times 2}{5} = \dfrac{6}{5} = 1\dfrac{1}{5} \]

Bukan contoh: mengalikan pembilang dan penyebut dengan 3, sehingga hasilnya dianggap \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{6}{15}.} \) Padahal \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{6}{15}} \) senilai dengan \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{2}{5},} \) karena pembilang dan penyebutnya dikali bilangan yang sama (materi kelima). Nilainya tidak berubah sama sekali, padahal seharusnya menjadi 3 kali lipat.

Bagaimana dengan \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{2}{5} \times 3?} \) Sifat pertukaran dari materi keempat tetap berlaku, jadi hasilnya sama:

\[ \dfrac{2}{5} \times 3 = 3 \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{6}{5} \]

2. Arti “dari”

Kita sering mendengar “\( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{2}{3}} \) dari 12 kelereng”. Artinya: bagi 12 kelereng menjadi 3 kelompok sama besar, lalu ambil 2 kelompok.

Satu kelompok berisi \( {12 \mathbin{:} 3 = 4} \) kelereng, jadi 2 kelompok berisi \( {2 \times 4 = 8} \) kelereng. Hasil yang sama didapat dengan perkalian:

\[ \dfrac{2}{3} \times 12 = \dfrac{2 \times 12}{3} = \dfrac{24}{3} = 8 \]

Mengapa perkalian? Menurut arti perkalian dari materi ketiga, bilangan pertama adalah pengali. Jadi \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{2}{3} \times 12} \) berarti 12 diambil “dua per tiga kali”: belum sampai sekali penuh, hanya dua per tiga bagiannya. Itulah arti “dari”. Untuk menghitungnya, pakai sifat pertukaran:

\[ \dfrac{2}{3} \times 12 = 12 \times \dfrac{2}{3} \]

yaitu dua per tiga dijumlahkan 12 kali, sehingga pembilangnya dikali 12 seperti di bagian 1. Jadi kata “dari” sesudah pecahan berarti dikali. Arti ini akan sangat berguna di materi persen nanti, misalnya “20% dari 50.000”.

3. Pecahan Dikali Pecahan

Kembali ke pertanyaan pembuka: setengah dari \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{3}{4}} \) loyang. Kata “dari” sesudah pecahan berarti dikali, jadi yang dicari adalah \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{1}{2} \times \dfrac{3}{4}.} \) Mari kita lihat dengan gambar.

Loyang dibagi menjadi 4 kolom sama besar, dan 3 kolom berisi kue: itulah \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{3}{4}} \) loyang. Untuk mengambil setengahnya, loyang dibagi lagi menjadi 2 baris, lalu kita ambil 1 baris di 3 kolom kue tadi. Sekarang loyang terbagi menjadi \( {2 \times 4 = 8} \) potongan kecil yang sama besar, dan yang diberikan \( {1 \times 3 = 3} \) potongan. Jadi setengah dari \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{3}{4}} \) loyang adalah \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{3}{8}} \) loyang:

\[ \dfrac{1}{2} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{1 \times 3}{2 \times 4} = \dfrac{3}{8} \]

Aturannya: pembilang dikali pembilang, penyebut dikali penyebut. Penyebutnya dikali karena setiap potongan dipotong lagi (2 baris kali 4 kolom). Pembilangnya dikali karena yang diambil adalah 1 baris di 3 kolom. Berbeda dengan penjumlahan, di sini penyebutnya tidak perlu disamakan dulu.

Perhatikan: hasilnya, \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{3}{8},} \) lebih kecil daripada \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{3}{4}.} \) Masuk akal, karena kita hanya mengambil setengahnya. Bilangan positif yang dikali pecahan positif kurang dari 1 menjadi lebih kecil.

Menyederhanakan. Hitung \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{2}{3} \times \dfrac{9}{10}} \):

\[ \begin{aligned} \dfrac{2}{3} \times \dfrac{9}{10} &= \dfrac{2 \times 9}{3 \times 10} = \dfrac{18}{30} \\[6pt] &= \dfrac{3}{5} \end{aligned} \]

Hasil \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{18}{30}} \) disederhanakan karena 18 dan 30 sama-sama habis dibagi 6. Cara hemat: sederhanakan sebelum mengalikan. Bilangan 2 di pembilang dan 10 di penyebut sama-sama habis dibagi 2; bilangan 9 di pembilang dan 3 di penyebut sama-sama habis dibagi 3:

\[ \dfrac{2 \times 9}{3 \times 10} = \dfrac{1 \times 3}{1 \times 5} = \dfrac{3}{5} \]

Ini boleh karena membagi 2 dengan 2 membuat seluruh pembilang (18) ikut terbagi 2, dan membagi 10 dengan 2 membuat seluruh penyebut (30) ikut terbagi 2. Pembilang dan penyebut dibagi bilangan yang sama, jadi hasilnya pecahan senilai. Begitu juga dengan pembagian oleh 3.

4. Pecahan Campuran Dikali

Pecahan campuran diubah dulu ke pecahan biasa (materi keenam), lalu dikali seperti biasa:

\[ \begin{aligned} 1\dfrac{1}{2} \times 2\dfrac{1}{3} &= \dfrac{3}{2} \times \dfrac{7}{3} \\[6pt] &= \dfrac{21}{6} = \dfrac{7}{2} = 3\dfrac{1}{2} \end{aligned} \]

Bukan contoh: mengalikan bagian utuh dengan bagian utuh dan bagian pecahan dengan bagian pecahan, lalu menjumlahkannya:

\[ \begin{aligned} 1 \times 2 &= 2 \\[6pt] \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{3} &= \dfrac{1}{6} \end{aligned} \]

sehingga hasilnya dianggap \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}2\dfrac{1}{6}.} \) Gambar persegi panjang berikut menunjukkan sebabnya.

Bayangkan persegi panjang dengan panjang \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}2\dfrac{1}{3}} \) dan lebar \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}1\dfrac{1}{2}.} \) Luasnya adalah panjang kali lebar, yaitu \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}2\dfrac{1}{3} \times 1\dfrac{1}{2},} \) dan luas inilah yang kita cari. (Potongan kue di bagian 3 juga persegi panjang: lebarnya \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{3}{4}} \) loyang, tingginya \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{1}{2}} \) loyang, dan luasnya \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{3}{8}} \) loyang.) Panjangnya terdiri atas 2 dan \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{1}{3},} \) lebarnya atas 1 dan \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{1}{2},} \) jadi persegi panjang itu terbagi menjadi 4 bagian, seperti model kotak pada sifat penyebaran di materi keempat. Luas setiap bagian adalah panjang kali lebarnya:

\[ \begin{aligned} 2 \times 1 &= 2 \\[6pt] \dfrac{1}{3} \times 1 &= \dfrac{1}{3} \\[6pt] 2 \times \dfrac{1}{2} &= 1 \\[6pt] \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{2} &= \dfrac{1}{6} \end{aligned} \]

Cara yang salah hanya menghitung bagian 2 dan \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{1}{6},} \) dan melupakan dua bagian lainnya. Kalau keempatnya dijumlahkan:

\[ \begin{aligned} 2 + \dfrac{1}{3} + 1 + \dfrac{1}{6} &= 3 + \dfrac{2}{6} + \dfrac{1}{6} \\[6pt] &= 3 + \dfrac{3}{6} = 3\dfrac{1}{2} \end{aligned} \]

Hasilnya sama dengan cara mengubah ke pecahan biasa.

5. Pembagian: Berapa Kali Muat?

Di materi ketiga, pembagian adalah kebalikan perkalian: \( {12 \mathbin{:} 3 = 4} \) karena \( {4 \times 3 = 12.} \) Pembagian juga bisa dibaca sebagai pertanyaan: berapa kali 3 muat di dalam 12? Cara membaca inilah yang membuat pembagian pecahan mudah dipahami.

a. Bilangan bulat dibagi pecahan. Hitung \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}3 \mathbin{:} \dfrac{1}{4},} \) artinya: berapa potong seperempat yang muat di dalam 3 loyang? Setiap loyang berisi 4 potong seperempat, jadi 3 loyang berisi \( {3 \times 4 = 12} \) potong.

\[ 3 \mathbin{:} \dfrac{1}{4} = 3 \times 4 = 12 \]

Cek dengan perkalian: \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}12 \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{12}{4} = 3.} \) Cocok. Perhatikan: hasilnya, 12, lebih besar daripada 3. Bilangan positif yang dibagi pecahan positif kurang dari 1 menjadi lebih besar, karena potongan yang kecil muat berkali-kali.

b. Berapa kali tiga perempat muat di dalam 1? Satu loyang berisi 4 potong seperempat, sedangkan tiga perempat loyang memakai 3 potong. Jadi tiga perempat muat sekali, lalu masih tersisa 1 potong. Sisa 1 potong itu sepertiga dari tiga perempat (karena tiga perempat berisi 3 potong). Jadi tiga perempat muat satu sepertiga kali di dalam 1:

\[ 1 \mathbin{:} \dfrac{3}{4} = 1\dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{3} \]

Pecahan \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{4}{3}} \) disebut kebalikan dari \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{3}{4}} \): pembilang dan penyebutnya ditukar. (Arti kata ini berbeda dengan “pembagian adalah kebalikan perkalian”: di sini yang dibalik pecahannya, bukan operasinya.) Cara yang sama berlaku untuk pecahan lain. Misalnya dua perlima muat 2 kali di dalam 1, lalu tersisa 1 potong seperlima, yaitu setengah dari dua perlima. Jadi \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}1 \mathbin{:} \dfrac{2}{5} = 2\dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2},} \) kebalikan dari \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{2}{5}.} \)

Kalau \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{3}{4}} \) muat \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{4}{3}} \) kali di dalam 1, di dalam 3 loyang ia muat 3 kali lipat:

\[ 3 \mathbin{:} \dfrac{3}{4} = 3 \times \dfrac{4}{3} = \dfrac{12}{3} = 4 \]

Cek dengan gambar: 3 loyang berisi 12 potong seperempat, dan setiap \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{3}{4}} \) memakai 3 potong, jadi muatnya \( {12 \mathbin{:} 3 = 4} \) kali. Cocok.

Pembagi adalah bilangan sesudah tanda bagi (di sebelah kanannya). Aturannya: membagi dengan pecahan sama dengan mengalikan dengan kebalikan pembaginya. Yang dibalik hanya pembaginya; bilangan sebelum tanda bagi tidak dibalik. Hasil kali sebuah pecahan (bukan 0) dengan kebalikannya selalu 1, misalnya:

\[ \dfrac{3}{4} \times \dfrac{4}{3} = \dfrac{12}{12} = 1 \]

c. Pecahan dibagi bilangan bulat. Di sini lebih mudah memakai arti pembagian yang lain, yaitu membagi rata. Setengah loyang dibagi rata untuk 3 orang. Bilangan 3 bisa ditulis \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{3}{1},} \) karena 3 dibagi 1 hasilnya 3, jadi kebalikannya \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{1}{3}.} \) Setiap orang mendapat sepertiga dari setengah loyang:

\[ \dfrac{1}{2} \mathbin{:} 3 = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6} \]

d. Pecahan dibagi pecahan. Hitung \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{3}{4} \mathbin{:} \dfrac{1}{8},} \) artinya berapa potong seperdelapan yang muat di dalam \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{3}{4}?} \) Seperdelapan muat 8 kali di dalam 1, jadi di dalam \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{3}{4}} \) ia muat \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{3}{4}} \) dari 8 kali:

\[ \dfrac{3}{4} \mathbin{:} \dfrac{1}{8} = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{8}{1} = \dfrac{24}{4} = 6 \]

Cek: \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{8},} \) yaitu 6 potong seperdelapan. Jadi seperdelapan memang muat 6 kali. Cocok.

Bagaimana dengan 0? Pembagian dengan 0 tetap tidak didefinisikan, seperti di materi ketiga. Bilangan 0 juga tidak punya kebalikan, karena tidak ada bilangan yang dikali 0 hasilnya 1.

6. Dengan Pecahan Negatif

Aturan tanda dari materi ketiga tetap berlaku: tanda sama hasilnya positif, tanda beda hasilnya negatif. Hitung dulu tanpa tanda, lalu tentukan tandanya. Negatif dikali positif hasilnya negatif:

\[ \left(-\dfrac{1}{2}\right) \times \dfrac{3}{4} = -\dfrac{3}{8} \]

Untuk pembagian, hitung \( \rule[-0.45em]{0pt}{1.9em} \left(-\dfrac{2}{3}\right) \mathbin{:} \left(-\dfrac{1}{3}\right) \). Kebalikan dari \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}{-}\dfrac{1}{3}} \) adalah \( {-3,} \) jadi pembagiannya diganti perkalian dengan \( {-3.} \) Negatif dikali negatif hasilnya positif:

\[ \begin{aligned} \left(-\dfrac{2}{3}\right) \times (-3) &= \dfrac{2}{3} \times 3 \\[6pt] &= 2 \end{aligned} \]

Awas Jebakan!

Jebakan 1: “perkalian selalu memperbesar, pembagian selalu memperkecil”. Anggapan ini datang dari perkalian dan pembagian dengan bilangan bulat yang lebih dari 1. Dengan pecahan, keadaannya berbeda:

\[ \begin{aligned} 12 \times \dfrac{1}{2} &= 6 \\[6pt] 3 \mathbin{:} \dfrac{1}{4} &= 12 \end{aligned} \]

Hasil pertama justru lebih kecil daripada 12, dan hasil kedua justru lebih besar daripada 3. Untuk bilangan positif: dikali pecahan positif kurang dari 1 hasilnya mengecil, dibagi pecahan positif kurang dari 1 hasilnya membesar. Pakai ini untuk mengecek jawaban.

Jebakan 2: membalik pecahan yang salah. Pada \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{3}{4} \mathbin{:} \dfrac{1}{8},} \) ada yang membalik pecahan pertama:

\[ \dfrac{4}{3} \times \dfrac{1}{8} = \dfrac{4}{24} = \dfrac{1}{6} \]

Cek dengan akal sehat: \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{3}{4}} \) sama dengan 6 potong seperdelapan, jadi seperdelapan muat lebih dari sekali di dalamnya. Hasilnya tidak mungkin \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{1}{6}.} \) Yang dibalik harus pembaginya, yaitu \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{1}{8},} \) sehingga hasilnya 6.

Mari Coba Bersama

Contoh 1. Hitung \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{2}{5} \times \dfrac{15}{4}.} \)

Cara berpikir: pembilang dikali pembilang, penyebut dikali penyebut, lalu sederhanakan. Dengan cara hemat: 2 dan 4 sama-sama habis dibagi 2, sedangkan 15 dan 5 sama-sama habis dibagi 5.

\[ \begin{aligned} \dfrac{2}{5} \times \dfrac{15}{4} &= \dfrac{2 \times 15}{5 \times 4} \\[6pt] &= \dfrac{1 \times 3}{1 \times 2} = \dfrac{3}{2} = 1\dfrac{1}{2} \end{aligned} \]

Jawaban: \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}1\dfrac{1}{2}.} \)

Contoh 2. Ada \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}2\dfrac{1}{4}} \) liter jus. Jus itu dituang ke gelas-gelas yang masing-masing berisi \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{3}{4}} \) liter. Berapa gelas yang terisi penuh?

Cara berpikir: berapa kali \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{3}{4}} \) liter muat di dalam \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}2\dfrac{1}{4}} \) liter? Itu pembagian. Ubah dulu pecahan campurannya ke pecahan biasa, lalu kalikan dengan kebalikan pembaginya.

\[ \begin{aligned} 2\dfrac{1}{4} \mathbin{:} \dfrac{3}{4} &= \dfrac{9}{4} \times \dfrac{4}{3} \\[6pt] &= \dfrac{36}{12} = 3 \end{aligned} \]

Cek dengan perkalian:

\[ 3 \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{4} = 2\dfrac{1}{4} \]

Cocok.
Jawaban: 3 gelas.

Contoh 3. Satu adonan kue membutuhkan \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{3}{4}} \) cangkir gula. Ibu membuat \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}2\dfrac{1}{2}} \) adonan. Berapa cangkir gula yang dibutuhkan?

Cara berpikir: \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}2\dfrac{1}{2}} \) kali \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{3}{4}} \) cangkir, jadi perkalian.

\[ \begin{aligned} 2\dfrac{1}{2} \times \dfrac{3}{4} &= \dfrac{5}{2} \times \dfrac{3}{4} \\[6pt] &= \dfrac{15}{8} = 1\dfrac{7}{8} \end{aligned} \]

Cek dengan akal sehat: hasilnya harus di antara kebutuhan 2 adonan dan kebutuhan 3 adonan:

\[ \begin{aligned} 2 \times \dfrac{3}{4} &= 1\dfrac{1}{2} \\[6pt] 3 \times \dfrac{3}{4} &= 2\dfrac{1}{4} \end{aligned} \]

Hasil \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}1\dfrac{7}{8}} \) memang di antara keduanya.
Jawaban: \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}1\dfrac{7}{8}} \) cangkir.

Ringkasan

• Bilangan bulat dikali pecahan: kalikan pembilangnya, penyebutnya tetap (penjumlahan berulang).
• Kata “dari” sesudah pecahan berarti dikali.
• Pecahan dikali pecahan: pembilang dikali pembilang, penyebut dikali penyebut; penyebut tidak perlu disamakan. Pecahan campuran diubah dulu ke pecahan biasa.
• Membagi bisa dibaca “berapa kali muat” atau “dibagi rata”. Membagi dengan pecahan sama dengan mengalikan dengan kebalikan pembaginya.
• Untuk bilangan positif: dikali pecahan positif kurang dari 1 hasilnya mengecil, dibagi pecahan positif kurang dari 1 hasilnya membesar.
• Aturan tanda dari materi ketiga tetap berlaku.

Sekarang kerjakan latihan soal di bawah. Pilih jawabanmu, lalu baca pembahasannya. Pembahasan sama pentingnya dengan jawabannya.

Materi berikutnya: desimal dan persen.