Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Bulat

Di materi sebelumnya ada soal begini: suhu pagi hari −3°C, siang harinya naik 5 derajat. Kita menjawabnya dengan berdiri di −3 pada garis bilangan, lalu melangkah 5 langkah ke kanan, dan sampai di 2°C. Tanpa sadar, kita baru saja menghitung \( -3 + 5 = 2 \).

Di halaman ini cara melangkah itu kita jadikan alat untuk menjumlah dan mengurangi bilangan bulat apa pun. Kuncinya hanya dua pertanyaan: mulai dari mana, dan melangkah ke arah mana.

1. Menambah Bilangan Positif: Melangkah ke Kanan

Bayangkan kamu berdiri di atas garis bilangan. Untuk menghitung \( -3 + 5 \):

1. Mulai dari bilangan pertama: berdiri di −3.
2. Tentukan arah. Yang ditambahkan adalah 5, bilangan positif, jadi melangkah ke kanan.
3. Melangkah sebanyak 5 langkah: −2, −1, 0, 1, 2. Berhenti di 2.

Jadi \( -3 + 5 = 2 \).

Mengapa ke kanan? Menambah bilangan positif membuat hasilnya makin besar. Di materi sebelumnya kita sudah tahu: pada garis bilangan, makin besar artinya makin ke kanan.

2. Menambah Bilangan Negatif: Melangkah ke Kiri

Dalam sebuah kuis kelas, jawaban benar mendapat poin positif, sedangkan jawaban salah mendapat poin negatif. Skor Aisyah 4. Lalu ia salah menjawab dan mendapat −6 poin. Berapa skornya sekarang?

Skor barunya dihitung dengan \( 4 + (-6) \). Caranya sama:

1. Mulai di 4.
2. Tentukan arah. Yang ditambahkan −6, bilangan negatif, jadi melangkah ke kiri.
3. Melangkah 6 langkah: 3, 2, 1, 0, −1, −2. Berhenti di −2.

Jadi \( 4 + (-6) = -2 \). Skor Aisyah sekarang −2.

Mengapa ke kiri? Mendapat poin negatif membuat skor berkurang, dan berkurang artinya bergerak ke kiri.

Tentang tanda kurung. Perhatikan \( 4 + (-6) \). Bilangan −6 ditulis di dalam kurung supaya tanda tambah dan tanda minus tidak berdempetan. Isi kurung itu satu bilangan, yaitu negatif enam.

3. Mengurangi Bilangan Positif: Melangkah ke Kiri

Suhu sore hari 2°C. Malam harinya suhu turun 5 derajat. Berapa suhu malam itu?

Turun 5 derajat berarti dikurangi 5, jadi kita menghitung \( 2 - 5 \). Mengurangi bilangan positif membuat hasilnya makin kecil, maka kita melangkah ke kiri (pada termometer: ke bawah). Mulai di 2, lima langkah: 1, 0, −1, −2, −3.

Jadi \( 2 - 5 = -3 \). Suhu malam itu −3°C.

Sekarang bandingkan dengan bagian 2. \( 4 + (-6) \) dan \( 4 - 6 \) sama-sama melangkah 6 langkah ke kiri dari 4, dan hasilnya sama-sama −2. Ternyata menambah −6 sama dengan mengurangi 6. Ingat temuan ini; sebentar lagi kita memakainya.

4. Mengurangi Bilangan Negatif: Melangkah ke Kanan

Inilah bagian yang paling sering membingungkan. Berapa \( 5 - (-2) \)? Daripada langsung menghafal aturan, mari kita bernalar dari pola.

Perhatikan kolom bilangan yang dikurangkan: turun satu-satu (3, 2, 1, 0). Perhatikan hasilnya: naik satu-satu (2, 3, 4, 5). Pola itu tidak berhenti di nol. Kalau bilangan yang dikurangkan turun lagi menjadi −1 lalu −2, hasilnya terus naik menjadi 6 lalu 7.

Jadi \( 5 - (-1) = 6 \) dan \( 5 - (-2) = 7 \). Mengurangi bilangan negatif membuat hasilnya bertambah, sehingga pada garis bilangan kita melangkah ke kanan. Perhatikan juga: \( 5 + 2 \) hasilnya 7, sama dengan \( 5 - (-2) \).

Cek dengan kuis. Skor Budi 5, dan di dalamnya sudah termasuk −2 poin dari satu soal yang ia jawab salah. Ternyata soal itu keliru dan dibatalkan oleh guru, jadi poin −2 itu dihapus, artinya dikurangkan dari skor Budi. Menghapus poin hukuman tentu membuat skor naik: \( 5 - (-2) = 7 \).

5. Satu Aturan untuk Pengurangan: Tambahkan Lawannya

Lawan sebuah bilangan adalah bilangan yang jaraknya dari nol sama, tetapi letaknya di sisi seberang nol. Khusus 0, lawannya adalah 0 itu sendiri, karena 0 tidak berada di sisi mana pun.

Contoh: lawan 3 adalah −3, lawan −2 adalah 2, dan lawan 0 adalah 0.
Bukan contoh: lawan −4 bukan −4 (itu bilangannya sendiri) dan bukan 0. Lawan −4 adalah 4.

Dari bagian 3 dan 4 kita menemukan dua hal: mengurangi 6 sama dengan menambah −6, dan mengurangi −2 sama dengan menambah 2. Keduanya digabung menjadi satu aturan:

Mengurangi sebuah bilangan sama dengan menambah lawannya.

\[ 2 - 5 = 2 + (-5) = -3 \]

\[ 5 - (-2) = 5 + 2 = 7 \]

Dengan aturan ini, setiap pengurangan bisa diubah menjadi penjumlahan, lalu dikerjakan dengan cara melangkah seperti biasa. Arah langkahnya bisa dirangkum dalam satu gambar:

Awas Jebakan!

Jebakan 1: \( -5 + 2 \). Banyak yang menjawab −7, karena 5 dan 2 dijumlahkan lalu tanda minusnya ditempel. Padahal kita mulai di −5 dan melangkah 2 langkah ke kanan: −4, −3. Jawabannya −3. Cek dengan suhu: −5°C yang naik 2 derajat menjadi −3°C, lebih hangat, bukan makin dingin.

Jebakan 2: \( 3 - (-4) \). Banyak yang menjawab −1, seolah-olah soalnya \( 3 - 4 \). Tanda minus di depan 4 jangan diabaikan. Mengurangi −4 sama dengan menambah 4, jadi hasilnya \( 3 + 4 = 7 \).

Mari Coba Bersama

Contoh 1. Hitung \( -2 + (-3) \).

Cara berpikir: mulai di −2. Yang ditambahkan −3, bilangan negatif, jadi melangkah 3 langkah ke kiri: −3, −4, −5.
Jawaban: −5.

Contoh 2. Hitung \( -1 - (-4) \).

Cara berpikir: mengurangi −4 sama dengan menambah lawannya, yaitu 4. Jadi soalnya menjadi \( -1 + 4 \). Mulai di −1, melangkah 4 langkah ke kanan: 0, 1, 2, 3.
Jawaban: 3.

Contoh 3 (langkahnya banyak). Hitung \( -45 + 30 \).

Cara berpikir: menggambar garis bilangan sampai −45 tentu repot. Cukup bayangkan: kita mulai 45 langkah di kiri nol, lalu melangkah 30 langkah ke kanan. Tiga puluh langkah belum cukup untuk sampai ke nol; masih kurang \( 45 - 30 = 15 \) langkah. Jadi kita berhenti 15 langkah di kiri nol.
Jawaban: −15.

Ringkasan

• Menjumlah dan mengurangi bilangan bulat sama dengan melangkah di garis bilangan, dimulai dari bilangan pertama.
• Menambah bilangan positif: ke kanan. Menambah bilangan negatif: ke kiri.
• Mengurangi bilangan positif: ke kiri. Mengurangi bilangan negatif: ke kanan.
• Lawan sebuah bilangan sama jauh dari nol, di sisi seberang (lawan 0 adalah 0). Mengurangi sama dengan menambah lawannya, misalnya \( 5 - (-2) = 5 + 2 = 7 \).

Sekarang kerjakan latihan soal di bawah. Pilih jawabanmu, lalu baca pembahasannya. Pembahasan sama pentingnya dengan jawabannya.

Materi berikutnya: perkalian dan pembagian bilangan bulat, termasuk alasan mengapa bilangan negatif dikali bilangan negatif hasilnya positif.