Operasi Campuran dan Sifat-Sifat Operasi

Budi membeli 1 pulpen seharga 2 ribu rupiah dan 4 buku tulis seharga 3 ribu rupiah per buku. Ia menuliskan totalnya sebagai \( {2 + 4 \times 3.} \) Aisyah menghitungnya dari kiri: \( {2 + 4 = 6,} \) lalu \( {6 \times 3 = 18.} \) Budi mengalikan dulu: \( {4 \times 3 = 12,} \) lalu \( {2 + 12 = 14.} \) Mana yang benar?

Coba hitung langsung dari ceritanya. Harga 4 buku adalah 12 ribu, ditambah pulpen 2 ribu, jadi 14 ribu. Jawaban Budi yang cocok dengan kenyataan. Hasil 18 ribu berarti ada \( {2 + 4 = 6} \) buku yang masing-masing seharga 3 ribu. Padahal angka 2 di soal itu adalah harga pulpen, bukan banyaknya buku.

Di halaman ini kita belajar operasi campuran, yaitu soal yang memuat beberapa operasi sekaligus (tambah, kurang, kali, bagi), dan sifat-sifat operasi yang membuat hitungan lebih mudah.

1. Mengapa Kali Dikerjakan Lebih Dulu?

Ingat materi sebelumnya: perkalian adalah penjumlahan berulang. \( {4 \times 3} \) berarti \( {3 + 3 + 3 + 3,} \) yaitu harga empat buku sekaligus. Jadi \( {4 \times 3} \) adalah satu paket yang harus dihitung utuh dulu, baru kemudian ditambah dengan yang lain:

\[ 2 + 4 \times 3 = 2 + 12 = 14 \]

Supaya semua orang mendapat jawaban yang sama untuk soal yang sama, para ahli matematika di seluruh dunia membuat kesepakatan tentang urutan pengerjaan. Kesepakatan ini dipakai di buku pelajaran, kalkulator ilmiah, dan komputer.

Hati-hati dengan kalkulator sederhana (kalkulator untuk belanja). Banyak di antaranya langsung menghitung dari kiri, sehingga \( {2 + 4 \times 3} \) bisa muncul sebagai 18. Kalkulator itu tidak rusak; ia memang tidak mengikuti kesepakatan urutan pengerjaan.

2. Urutan Pengerjaan

1. Kurung dikerjakan paling dulu.
2. Kali dan bagi dikerjakan berikutnya. Keduanya sama kuat, jadi dikerjakan berurutan dari kiri ke kanan.
3. Tambah dan kurang dikerjakan terakhir. Keduanya juga sama kuat, dikerjakan dari kiri ke kanan.

Kata “sama kuat” itu penting. Artinya bukan “kali dulu, baru bagi” atau “tambah dulu, baru kurang”, melainkan mana yang lebih kiri, itu yang lebih dulu.

Cek dengan cerita untuk \( {12 \mathbin{:} 3 \times 2.} \) Ada 12 kue dibagi rata ke 3 piring, jadi tiap piring berisi 4 kue. Lalu setiap kue di satu piring dipotong menjadi 2. Banyak potongan di piring itu \( {4 \times 2 = 8} \) (empat kali dua potong: 2 + 2 + 2 + 2). Hasilnya 8, bukan \( {12 \mathbin{:} 6 = 2.} \)

Cek dengan cerita untuk \( {10 - 4 + 3.} \) Kamu punya 10 permen, memberikan 4 kepada teman, lalu mendapat 3 dari kakak. Permenmu sekarang \( {6 + 3 = 9,} \) bukan \( {10 - 7 = 3.} \)

3. Kurung Mengubah Urutan

Kalau kita ingin suatu bagian dikerjakan lebih dulu, bagian itu diberi kurung. Bandingkan:

\[ \begin{aligned} 2 + 4 \times 3 &= 2 + 12 = 14 \\ (2 + 4) \times 3 &= 6 \times 3 = 18 \end{aligned} \]

Soal yang memakai kurung cocok untuk cerita yang berbeda: 2 buku tulis dan 4 buku gambar, semuanya seharga 3 ribu per buku. Totalnya 6 buku, jadi 18 ribu. Satu tanda kurung mengubah arti soal, dan mengubah jawabannya.

4. Operasi Campuran dengan Bilangan Negatif

Urutannya tetap sama. Bedanya, setiap langkah memakai aturan dari materi sebelumnya: melangkah di garis bilangan untuk tambah dan kurang, aturan tanda untuk kali dan bagi. Contoh pertama: \( {-8 + 6 \mathbin{:} (-2).} \)

1. Bagi dulu: \( {6 \mathbin{:} (-2) = -3} \) (tanda berbeda, hasilnya negatif).
2. Lalu tambah: \( {-8 + (-3) = -11} \) (mulai di −8, melangkah 3 langkah ke kiri).

Contoh kedua memakai ketiga tingkat: kurung, kali, dan kurang. Hitung \( {20 - 2 \times (3 - 8).} \)

1. Kurung dulu: \( {3 - 8 = -5.} \) Soalnya menjadi \( {20 - 2 \times (-5).} \)
2. Kali: \( {2 \times (-5) = -10.} \) Soalnya menjadi \( {20 - (-10).} \)
3. Kurang: mengurangi −10 sama dengan menambah lawannya, jadi \( {20 + 10 = 30.} \)

Kebiasaan yang membantu: setiap kali satu bagian selesai dihitung, tulis ulang seluruh soalnya di baris baru, seperti anak tangga. Dengan begitu tidak ada bagian yang terlewat atau tertukar urutannya.

5. Sifat-Sifat yang Membuat Hitungan Lebih Mudah

Selain urutan pengerjaan, ada tiga sifat yang sering dipakai untuk berhitung lebih cepat.

a. Sifat pertukaran (komutatif). Urutan dua bilangan boleh ditukar pada penjumlahan dan perkalian, misalnya \( {(-7) + 5 = 5 + (-7)} \) dan \( {3 \times (-4) = (-4) \times 3.} \)
Bukan contoh: pengurangan dan pembagian. Pada pengurangan, \( {5 - 3 = 2,} \) tetapi \( {3 - 5 = -2.} \) Pada pembagian, \( {8 \mathbin{:} 2 = 4,} \) tetapi \( {2 \mathbin{:} 8} \) bahkan bukan bilangan bulat.

b. Sifat pengelompokan (asosiatif). Pada penjumlahan atau perkalian tiga bilangan, dua bilangan pertama atau dua bilangan terakhir yang dihitung lebih dulu, hasilnya sama, misalnya \( (2 \times 5) \times 7 = 2 \times (5 \times 7) \). Ditambah sifat pertukaran, kita bebas mencari pasangan yang mudah: \( 25 \times (-7) \times 4 = (25 \times 4) \times (-7) = 100 \times (-7) = -700 \).
Bukan contoh: pengurangan. \( {(10 - 4) - 3 = 3,} \) tetapi \( {10 - (4 - 3) = 9.} \)

c. Sifat penyebaran (distributif). Perkalian dengan isi kurung bisa “disebarkan” ke setiap bilangan di dalam kurung. Gambar berikut menunjukkan alasannya: 3 baris berisi 12 kotak bisa dihitung sekaligus, atau dipecah menjadi 3 baris berisi 10 kotak dan 3 baris berisi 2 kotak.

\[ \begin{aligned} 3 \times (10 + 2) &= 3 \times 10 + 3 \times 2 \\ &= 30 + 6 = 36 \end{aligned} \]

Sifat ini sangat berguna untuk menghitung di kepala. Contoh: \( 6 \times 99 = 6 \times (100 - 1) = 600 - 6 = 594 \). Yang sering terlupa: semua bilangan di dalam kurung harus ikut dikali, termasuk bilangan yang dikurangkan.

Awas Jebakan!

Jebakan 1: menghitung dari kiri tanpa melihat jenis operasinya. \( {10 - 2 \times 3} \) dihitung \( {8 \times 3 = 24.} \) Padahal kali dikerjakan lebih dulu: \( {10 - 6 = 4.} \)

Jebakan 2: hanya sebagian isi kurung yang dikali. \( {4 \times (5 - 1)} \) dihitung \( {20 - 1 = 19.} \) Padahal bilangan 1 juga harus dikali 4: \( {20 - 4 = 16.} \) Cek dengan cara biasa: \( {4 \times 4 = 16.} \)

Mari Coba Bersama

Contoh 1. Hitung \( {15 - 3 \times 4 + 2.} \)

Cara berpikir: kali dulu, \( {3 \times 4 = 12,} \) sehingga soalnya menjadi \( {15 - 12 + 2.} \) Kurang dan tambah sama kuat, jadi dari kiri: \( {15 - 12 = 3,} \) lalu \( {3 + 2 = 5.} \)
Jawaban: 5 (bukan \( {15 - 14 = 1} \)).

Contoh 2. Hitung \( (-12) \mathbin{:} 4 - (-2) \times 5 \).

Cara berpikir: ada bagi dan kali, kerjakan dulu dari kiri: \( {(-12) \mathbin{:} 4 = -3} \) dan \( {(-2) \times 5 = -10.} \) Soalnya menjadi \( {-3 - (-10).} \) Mengurangi −10 sama dengan menambah 10: \( {-3 + 10 = 7.} \)
Jawaban: 7.

Contoh 3. Hitung \( {5 \times (-13) \times 2} \) dengan cara cepat.

Cara berpikir: pasangan 5 dan 2 menghasilkan 10, jadi kelompokkan keduanya (sifat pertukaran dan pengelompokan): \( (5 \times 2) \times (-13) = 10 \times (-13) = -130 \).
Jawaban: −130.

Ringkasan

• Urutan pengerjaan: kurung, lalu kali dan bagi, lalu tambah dan kurang.
• Kali dan bagi sama kuat; tambah dan kurang sama kuat. Yang sama kuat dikerjakan dari kiri ke kanan.
• Dengan bilangan negatif urutannya sama; setiap langkah memakai aturan dari materi sebelumnya.
• Sifat pertukaran dan pengelompokan berlaku untuk tambah dan kali, tetapi tidak untuk kurang dan bagi.
• Sifat penyebaran: \( a \times (b + c) = a \times b + a \times c \). Semua isi kurung harus ikut dikali.

Sekarang kerjakan latihan soal di bawah. Pilih jawabanmu, lalu baca pembahasannya. Pembahasan sama pentingnya dengan jawabannya.

Materi berikutnya: mengenal dan membandingkan pecahan.