Mengenal dan Membandingkan Pecahan

Sebuah martabak manis dipotong menjadi 8 bagian yang sama besar. Aisyah makan 3 potong. Berapa bagian martabak yang dimakan Aisyah? Jawabannya lebih dari 0, tetapi kurang dari 1 martabak, dan di antara 0 dan 1 tidak ada bilangan bulat. Di materi pertama kita sudah tahu bahwa \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{1}{2}} \) bukan bilangan bulat. Sekarang saatnya berkenalan dengan bilangan seperti itu: pecahan.

1. Pecahan: Bagian dari Keseluruhan

Bagian yang dimakan Aisyah ditulis \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{3}{8}} \) dan dibaca “tiga per delapan”. Kadang pecahan ditulis dengan garis miring, 3/8, misalnya di gambar atau saat mengetik di HP. Artinya sama saja.

• Penyebut (bilangan di bawah garis pecahan) adalah banyaknya bagian sama besar dalam satu keseluruhan. Di sini 8, karena satu martabak dipotong 8.
• Pembilang (bilangan di atas garis pecahan) adalah banyaknya bagian yang diambil. Di sini 3, karena Aisyah makan 3 potong.

Ada satu syarat penting: bagian-bagiannya harus sama besar. Kalau potongannya tidak sama besar, “satu dari empat potong” belum tentu seperempat. (Seperempat ditulis \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{1}{4}} \) dan dibaca juga “satu per empat”.)

2. Tempat Pecahan di Garis Bilangan

Pecahan juga punya tempat di garis bilangan. Bagi jarak dari 0 ke 1 menjadi 4 langkah yang sama panjang. Setiap langkah panjangnya \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{1}{4}.} \) Jadi \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{3}{4}} \) berada 3 langkah dari 0, dan \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{4}{4}} \) tepat di 1, karena 4 bagian dari 4 adalah satu utuh.

Pecahan bisa lebih dari 1. \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{5}{4}} \) berada satu langkah sesudah 1. Dengan martabak: \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{5}{4}} \) artinya 5 potong seperempat, yaitu satu martabak utuh (4 potong) ditambah satu potong dari martabak kedua. Pecahan ini sering ditulis \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}1\dfrac{1}{4}} \) (dibaca “satu seperempat”), artinya 1 utuh ditambah \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{1}{4}} \) lagi. Bentuk seperti ini disebut pecahan campuran.

Pecahan juga bisa negatif. Sama seperti bilangan bulat negatif, pecahan negatif berada di kiri nol. Misalnya \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}{-}\dfrac{1}{2}} \) berada tepat di tengah antara −1 dan 0.

3. Pecahan Senilai

Ketiga pita sama panjang, dan bagian yang diarsir juga sama panjang. Jadi \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{4}{8}.} \) Pecahan-pecahan yang nilainya sama disebut pecahan senilai.

Mengapa nilainya sama? Dari \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{1}{2}} \) ke \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{2}{4},} \) setiap bagian dipotong lagi menjadi 2. Banyak bagian seluruhnya menjadi 2 kali lipat (penyebut dikali 2), dan banyak bagian yang diarsir juga menjadi 2 kali lipat (pembilang dikali 2). Potongannya menjadi lebih kecil, tetapi panjang bagian yang diarsir tidak berubah. Kalau setiap bagian dipotong menjadi 3, pembilang dan penyebutnya sama-sama dikali 3, dan seterusnya.

\[ \dfrac{1}{2} = \dfrac{1 \times 2}{2 \times 2} = \dfrac{2}{4} \]

Aturannya: pembilang dan penyebut dikali atau dibagi dengan bilangan yang sama (asalkan bukan 0), hasilnya pecahan senilai. Mengapa bukan 0? Dikali 0 membuat penyebutnya 0, padahal tidak ada keseluruhan yang dibagi menjadi 0 bagian. Membagi dengan 0 juga tidak bisa dilakukan, seperti di materi ketiga.

Menyederhanakan pecahan. Arah sebaliknya juga berlaku. Pada \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{6}{8},} \) pembilang dan penyebutnya sama-sama habis dibagi 2. Habis dibagi artinya hasil baginya bilangan bulat, tanpa sisa: \( {6 \mathbin{:} 2 = 3} \) dan \( {8 \mathbin{:} 2 = 4.} \) Hasilnya \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}.} \) Karena 3 dan 4 tidak lagi sama-sama habis dibagi oleh bilangan selain 1, \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{3}{4}} \) disebut bentuk paling sederhana.

Bukan contoh: menambahkan bilangan yang sama ke pembilang dan penyebut bukan cara membuat pecahan senilai, karena biasanya nilainya berubah. Dari \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{1}{2},} \) kalau pembilang dan penyebut sama-sama ditambah 1, hasilnya \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{2}{3}.} \) Bayangkan pita yang dibagi 3 sama besar: 2 bagian sudah lebih dari setengah pita, padahal \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{1}{2}} \) tepat setengah. Jadi \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{2}{3}} \) tidak senilai dengan \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{1}{2}.} \)

4. Membandingkan Pecahan

a. Penyebutnya sama. Bandingkan \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{3}{8}} \) dan \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{5}{8}.} \) Potongannya sama besar (sama-sama potongan seperdelapan), jadi yang potongannya lebih banyak itulah yang lebih besar: \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{5}{8} > \dfrac{3}{8}.} \)

b. Pembilangnya sama. Bandingkan \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{1}{3}} \) dan \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{1}{5}.} \) Bayangkan dua martabak yang sama besar. Martabak pertama dibagi rata untuk 3 orang, martabak kedua dibagi rata untuk 5 orang. Karena martabaknya sama besar, makin banyak orangnya, makin kecil bagian setiap orang. Jadi \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{1}{3} > \dfrac{1}{5},} \) walaupun 5 lebih besar daripada 3.

c. Pembilang dan penyebutnya berbeda. Bandingkan \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{2}{3}} \) dan \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{3}{4}.} \) Ubah keduanya menjadi pecahan senilai dengan penyebut yang sama. Penyebut barunya harus habis dibagi 3 dan juga habis dibagi 4. Cara yang pasti berhasil: kalikan kedua penyebutnya, \( {3 \times 4 = 12.} \)

Supaya penyebut 3 menjadi 12, kalikan dengan 4. Supaya penyebut 4 menjadi 12, kalikan dengan 3. Pembilangnya ikut dikali dengan bilangan yang sama:

\[ \begin{aligned} \dfrac{2}{3} &= \dfrac{2 \times 4}{3 \times 4} = \dfrac{8}{12} \\[6pt] \dfrac{3}{4} &= \dfrac{3 \times 3}{4 \times 3} = \dfrac{9}{12} \end{aligned} \]

Sekarang penyebutnya sama, sehingga cukup membandingkan pembilangnya: 9 lebih dari 8. Jadi \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{3}{4} > \dfrac{2}{3}.} \)

d. Pecahan negatif. Aturan dari materi pertama tetap berlaku: makin ke kanan, makin besar. Di mana letak \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}{-}\dfrac{1}{2}?} \) Kita tahu \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4},} \) jadi

\[ -\dfrac{1}{2} = -\dfrac{2}{4} \]

Artinya \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}{-}\dfrac{1}{2}} \) berada 2 langkah seperempat di kiri 0, sedangkan \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}{-}\dfrac{1}{4}} \) hanya 1 langkah di kiri 0. Jadi \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}{-}\dfrac{1}{4}} \) berada di kanan \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}{-}\dfrac{1}{2},} \) sehingga \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}{-}\dfrac{1}{4} > -\dfrac{1}{2}.} \) Untuk pecahan negatif, yang lebih dekat ke nol adalah yang lebih besar.

Cek dengan suhu: \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}{-}\dfrac{1}{4}\,{}^{\circ}\mathrm{C}} \) lebih hangat (lebih dekat ke \( {0\,{}^{\circ}\mathrm{C}} \)) daripada \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}{-}\dfrac{1}{2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}.} \)

Hati-hati: aturan a dan b di atas berlaku untuk pecahan positif. Untuk pecahan negatif, hasilnya terbalik. Contohnya \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{1}{4} < \dfrac{1}{2},} \) tetapi \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}{-}\dfrac{1}{4} > -\dfrac{1}{2}.} \)

Awas Jebakan!

Jebakan 1: “penyebut lebih besar, pecahan lebih besar”. Banyak yang mengira \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{1}{8}} \) lebih besar daripada \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{1}{4}} \) karena 8 lebih dari 4. Padahal, kalau keseluruhannya sama besar, penyebut 8 berarti keseluruhan itu dipotong menjadi lebih banyak bagian daripada penyebut 4, sehingga setiap bagian lebih kecil: \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{1}{8} < \dfrac{1}{4}.} \)

Jebakan 2: hanya melihat pembilang. Bandingkan \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{3}{8}} \) dan \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{2}{3}.} \) Pembilang 3 lebih dari 2, tetapi itu tidak cukup, karena potongannya tidak sama besar. Coba bandingkan keduanya dengan setengah. Setengah dari 8 potong adalah 4 potong, jadi \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{3}{8}} \) kurang dari setengah. Pecahan \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{2}{3}} \) senilai dengan \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{4}{6},} \) dan setengah dari 6 potong adalah 3 potong, jadi \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{2}{3}} \) lebih dari setengah:

\[ \begin{aligned} \dfrac{3}{8} &< \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2} \\[6pt] \dfrac{2}{3} &= \dfrac{4}{6} > \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2} \end{aligned} \]

Yang satu kurang dari setengah, yang lain lebih dari setengah. Jadi \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{3}{8} < \dfrac{2}{3}.} \)

Mari Coba Bersama

Contoh 1. Sederhanakan \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{12}{18}.} \)

Cara berpikir: 12 dan 18 sama-sama habis dibagi 2. Hasilnya, 6 dan 9, masih sama-sama habis dibagi 3. Sesudah itu, 2 dan 3 tidak lagi sama-sama habis dibagi oleh bilangan selain 1.

\[ \begin{aligned} \dfrac{12}{18} &= \dfrac{12 \mathbin{:} 2}{18 \mathbin{:} 2} = \dfrac{6}{9} \\[6pt] \dfrac{6}{9} &= \dfrac{6 \mathbin{:} 3}{9 \mathbin{:} 3} = \dfrac{2}{3} \end{aligned} \]

Jawaban: \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{2}{3}.} \) (Bisa juga langsung dibagi 6, karena dibagi 2 lalu dibagi 3 sama saja dengan dibagi 6.)

Contoh 2. Mana yang lebih besar, \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{5}{6}} \) atau \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{7}{9}?} \)

Cara berpikir: cari penyebut baru yang habis dibagi 6 dan juga habis dibagi 9. Tulis kelipatan 9 (hasil \( {9 \times 1,} \) \( {9 \times 2,} \) dan seterusnya): 9, 18, … Ternyata 18 juga habis dibagi 6, jadi pakai 18. (Cara yang pasti berhasil, \( {6 \times 9 = 54,} \) juga benar; hanya angkanya lebih besar.)

\[ \begin{aligned} \dfrac{5}{6} &= \dfrac{5 \times 3}{6 \times 3} = \dfrac{15}{18} \\[6pt] \dfrac{7}{9} &= \dfrac{7 \times 2}{9 \times 2} = \dfrac{14}{18} \end{aligned} \]

Penyebutnya sudah sama, dan 15 lebih dari 14.
Jawaban: \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{5}{6}} \) lebih besar.

Contoh 3. Urutkan \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{1}{2},} \) \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{2}{5},} \) dan \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{3}{4}} \) dari yang terkecil.

Cara berpikir: cari penyebut baru yang habis dibagi 2, 5, dan 4. Tulis kelipatan 5: 5, 10, 15, 20. Bilangan 20 adalah yang pertama habis dibagi 2 dan juga habis dibagi 4, jadi pakai 20:

\[ \begin{aligned} \dfrac{1}{2} &= \dfrac{1 \times 10}{2 \times 10} = \dfrac{10}{20} \\[6pt] \dfrac{2}{5} &= \dfrac{2 \times 4}{5 \times 4} = \dfrac{8}{20} \\[6pt] \dfrac{3}{4} &= \dfrac{3 \times 5}{4 \times 5} = \dfrac{15}{20} \end{aligned} \]

Urutan pembilangnya dari yang terkecil: 8, 10, 15.
Jawaban: \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{2}{5},} \) \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{1}{2},} \) \( {\rule[-0.45em]{0pt}{1.9em}\dfrac{3}{4}.} \)

Ringkasan

• Pecahan adalah bagian dari keseluruhan yang dibagi sama besar. Penyebut: banyak bagian sama besar dalam satu keseluruhan. Pembilang: banyak bagian yang diambil.
• Pecahan punya tempat di garis bilangan. Ada pecahan yang lebih dari 1, dan ada pecahan negatif.
• Pecahan senilai didapat dengan mengalikan atau membagi pembilang dan penyebut dengan bilangan yang sama (bukan 0), bukan dengan menambahkan bilangan yang sama.
• Membandingkan pecahan positif: kalau penyebutnya sama, pecahan dengan pembilang lebih besar adalah yang lebih besar. Kalau pembilangnya sama, pecahan dengan penyebut lebih kecil justru lebih besar. Kalau keduanya berbeda, samakan penyebutnya dulu.
• Pecahan negatif: yang lebih dekat ke nol adalah yang lebih besar.

Sekarang kerjakan latihan soal di bawah. Pilih jawabanmu, lalu baca pembahasannya. Pembahasan sama pentingnya dengan jawabannya.

Materi berikutnya: penjumlahan dan pengurangan pecahan.